【知識(shí)點(diǎn)7】二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型

　　一、單期二叉樹(shù)模型

　　關(guān)于單期二叉樹(shù)模型，其計(jì)算結(jié)果與前面介紹的復(fù)制組合原理和風(fēng)險(xiǎn)中性原理是一樣的。

　　以風(fēng)險(xiǎn)中性原理為例：

　　
　　式中：

　　Co=期權(quán)價(jià)格;Cu=股價(jià)上升時(shí)期權(quán)到期日價(jià)值

　　Cd=股價(jià)下行時(shí)期權(quán)到期日價(jià)值;r=無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率

　　u=股價(jià)上行乘數(shù);d=股價(jià)下行乘數(shù)

　　【提示】二叉樹(shù)模型建立在復(fù)制原理和風(fēng)險(xiǎn)中性原理基礎(chǔ)之上的，比較而言，風(fēng)險(xiǎn)中性原理比較簡(jiǎn)單，應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性原理時(shí)，可以直接應(yīng)用這里的上行概率計(jì)算公式計(jì)算上行概率，然后計(jì)算期權(quán)價(jià)值。

　　 二、兩期二叉樹(shù)模型

　　如果把單期二叉樹(shù)模型的到期時(shí)間分割成兩部分，就形成了兩期二叉樹(shù)模型。由單期模型向兩期模型的擴(kuò)展，不過(guò)是單期模型的兩次應(yīng)用。

　　
　　計(jì)算出Cu、Cd后，再根據(jù)單期定價(jià)模型計(jì)算出Co。

　　【例】假設(shè)ABC公司的股票現(xiàn)在的市價(jià)為50元。有1股以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為52.08元。到期時(shí)間是6個(gè)月。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為每年4%。

　　把6個(gè)月的時(shí)間分為2期，每期3個(gè)月。每期股價(jià)有兩種可能：上升22.56%，或下降18.4%。

　　【提示】本例前面為6個(gè)月一期時(shí)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率2%，本題三個(gè)月一期時(shí)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率1%。并沒(méi)有考慮名義利率和實(shí)際利率的問(wèn)題。

　　『正確答案』第一步，計(jì)算Cu、Cd的價(jià)值

　　【采用復(fù)制組合定價(jià)】

　　套期保值比率=期權(quán)價(jià)值變化/股價(jià)變化=(23.02-0)/(75.10-50)=0.9171

　　購(gòu)買股票支出=套期保值比率×股票現(xiàn)價(jià)=0.9171×61.28=56.20

　　借款數(shù)額=(到期日下行股價(jià)×套期保值比率)/(1+利率)

　　=50×0.9171/1.01=45.40

　　Cu=56.2-45.4=10.80元

　　由于Cud、Cdd均為0，因此，Cd=0

　　【采用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)】

　　1%=上行概率×22.56%+(1-上行概率)×(-18.4%)

　　上行概率=0.47363

　　期權(quán)價(jià)值6個(gè)月后的期望值=23.02×0.47363+(1-0.47363)×0=10.9030

　　Cu=10.9030/1.01=10.80(元)

　　由于Cud、Cdd均為0，因此，Cd=0

　　【采用兩期二叉樹(shù)模型】

　　 來(lái)三、多期二叉樹(shù)模型

　　1.原理：從原理上看，與兩期模型一樣，從后向前逐級(jí)推進(jìn)。

　　2.上行乘數(shù)和下行乘數(shù)是如何確定的?

　　期數(shù)增加以后帶來(lái)的主要問(wèn)題是股價(jià)上升與下降的百分比如何確定問(wèn)題。期數(shù)增加以后，要調(diào)整價(jià)格變化的升降幅度，以保證年收益率的標(biāo)準(zhǔn)差不變。把年收益率標(biāo)準(zhǔn)差和升降百分比聯(lián)系起來(lái)的公式是：

　　『正確答案』

　　【例】已知：股票價(jià)格So=50元，執(zhí)行價(jià)格52.08元，年無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率4%，股價(jià)波動(dòng)率(標(biāo)準(zhǔn)差)0.4068.到期時(shí)間6個(gè)月，劃分期數(shù)為6期。

　　『正確答案』1.確定每期股價(jià)變動(dòng)乘數(shù)

　　u=1.1246

　　d=0.8892

　　【注意】計(jì)算中注意t必須為年數(shù)，這里由于每期為1個(gè)月，所以t=1/12年。

　　2.建立股票價(jià)格二叉樹(shù)

　　
　　【填表規(guī)律】以當(dāng)前股價(jià)50為基礎(chǔ)，先按照下行乘數(shù)計(jì)算對(duì)角線的數(shù)字;對(duì)角線數(shù)字確定之后，各行該數(shù)字右邊的其他數(shù)字均按照上行乘數(shù)計(jì)算。

　　3.按照股票價(jià)格二叉樹(shù)和執(zhí)行價(jià)格，構(gòu)建期權(quán)價(jià)值二叉樹(shù)。

　　(1)確定第6期的各種情況下的期權(quán)價(jià)值

　　7個(gè)數(shù)字中有三個(gè)大于執(zhí)行價(jià)格，可以據(jù)此計(jì)算出三個(gè)期權(quán)價(jià)值(49.07=101.15-52.08;27.9=79.98-52.08;11.16=63.24-52.08)，后四個(gè)數(shù)字小于執(zhí)行價(jià)格，期權(quán)價(jià)值為0.